본문으로 바로가기



집합열의 극한, lim sup과 lim inf에 대하여

category Statistics/Inference 2017.09.13 23:25
집합들의 lim sup과 lim inf에 대하여

오늘은 집합들의 lim sup과 lim inf에 대하여 알아보도록 하자. 확률변수의 수렴을 이야기하기 위하여 꼭 필요한 개념이라서 고급 통계학 강의를 들으면 매번 나오는 개념이고, 그와 동시에 매번 까먹는 개념이 바로 이 집합열에 대한 limit supremum과 limit infimum에 대한 내용이다. 이번 포스팅의 내용은 필자가 숙제를 하면서 찾아보았던 자료 중 stack exchange 웹사이트에서 집합열의 lim sup과 lim inf의 개념에 대한 아주 재미있는 이야기를 발견하여, 포스팅을 하게 되었다. 원글은 다음의 링크를 참고하자.

lim sup과 lim inf의 재미있는 이야기

본격적인 통계 이야기를 하기 전에 lim sup과 lim inf에 관련한 실생활 예를 하나 생각해보자. 이 포스팅을 하게 된 직접적인 계기가 된 이야기인데, lim sup과 lim inf의 개념을 수학을 모르는 사람들에게 설명해 줄 때 아주 유용하게 써먹을 수 있을 것이고, 나중에 공식이 잘 생각이 나지 않을때에도 쉽게 떠올릴 수 있도록 해줄 것이라 생각한다.

어느 회사가 어느날 파산을 해버려서, 회사에 속해있는 사람들의 집합, \(\mathcal{A}\), 모두가 하루 아침에 실직자 신세가 되어버렸다고 가정하자. 해당 도시의 한 자선단체에서는 이들을 돕기 위하여, 매주 토요일마다 점심을 무료 제공해주기로 결정하였다. 무료 점심을 제공하는 n번째 주에 온 사람들의 집합을 \(A_n\)이라고 정의하면 모든 n에 대하여 \(A_n \in \mathcal{A}\)이 될 것이다. 즉, 실직자가 된 회사의 모든 사람들 중 일부분은 주말에 나와 무료 점심을 먹을 것이다. 이러한 실직자들을 시간이 지나면서 세 분류로 나눌 수 있을 것이다.

먼저 일부분은 시간이 지나면서 다시 직장을 얻은 부류이다. 이들은 직장을 잡은 시점을 이후로 더 이상 무료 점심에 나오지 않게 된다.

나머지 사람들은 시간이 지나도 여전히 직장을 구하지 못하는 사람들 일 것이다. 이들 중에서도 자존심이 무척 센 사람들은 무료 점심을 먹으러 다닌다는 현실을 받아들이지 못하고 정말 어쩔수없는 경우에만 가끔 나와 점심을 먹는 사람들이 있을 것이다.

하지만 어떤 사람들은 일정 시점이 지나도 직장을 잡는 것을 실패한 다음에는 아예 포기를 하고 매번 무료 점심을 먹으로 나오는 부류도 있을 것이다.

위의 이야기에서 \(lim sup A_{n}\)은 직장을 잡는데에 실패한 사람들의 모임이다. \(lim inf A_{n}\)은 구직 활동을 포기하고 매번 무료 점심을 먹으러 나오게 된 사람들이 된다.

위의 예를 생각하면서, 본격적으로 집합열의 lim sup 과 lim inf의 의미에 대하여 알아보도록 하자.

집합열(sequence of sets)

우리는 수학에서 수열을 배웠다. 수열은 말 그대로 숫자들에 순서를 부여하여 나열해놓은 것이라 생각할 수 있다. 이와 비슷하게 집합열이라고 하면 어떠한 집합들을 순서를 부여하여 나열해놓은 것이라고 생각하면 될 것이다.

예를들어, n번째 집합 \(A_n\)을 다음과 같이 정의하면,

\[ A_{n}:=\left\{ i|i\leq n,i\in\mathbb{N}\right\} \]

집합열 \(\left\{ A_{n}\right\} _{n\geq1}\)은 다음과 같은 집합들을 나열한 것이 될 것이다.

\[ \left\{ 1\right\} ,\left\{ 1,2\right\} ,\left\{ 1,2,3\right\} ,\left\{ 1,2,3,4\right\} ,... \]


집합열(sequence of sets)의 lim sup과 lim inf

어떤 집합열 \(\left\{ A_{n}\right\}\)에 대하여, 통계학에서는 집합열의 lim sup과 lim inf 개념을 다음과 같이 정의하여 사용하고 있다. 이 두 개념을 정의하는 이유는 어떠한 집합열이 주어졌을때 그 집합열의 극한을 이야기 하기 위해서이다.

\[ \begin{align*} \underset{n\rightarrow\infty}{limsup}A_{n} & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\\ \underset{n\rightarrow\infty}{liminf}A_{n} & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k} \end{align*} \]

위의 정의를 살펴보면, 한 가지 알 수 있는 사실은 lim sup과 lim inf 역시도 어떤 집합이라는 것이다. 너무 당연한 사실이지만, 집합과 집합을 합집합이나 교집합의 연산을 하고 난 결과는 역시 집합이 된다. 그렇다면 위에 정의된 limsup과 liminf는 어떠한 집합일까? 이 개념을 이해하기 위해서는 집합시간에 배운 합집합과 교집합의 지식을 알고 있으면 된다.

합집합과 교집합 개념을 이용한 lim sup과 lim inf의 이해

어떠한 두 집합 A와 B가 존재할 때, A와 B의 합집합은 \(A \cup B\)라고 표기하고, 이 집합은 적어도 두 집합 중 하나에 속하는 원소들을 모아놓은 집합이다. 또한 A와 B의 교집합은 \(A \cap B\)라고 표기하고, 이 집합은 두 집합에 모두 속해있는 원소들의 집합이라고 배웠다.

위의 개념을 응용하면 \(A_1,...,A_n\)\(n\) 개의 집합이 있다고 했을때, 이들의 합집합과 교집합을 다음과 같이 생각할 수 있다.

  1. \(\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\)는 n개의 집합 중에 적어도 하나 이상의 집합에 속하는 원소들을 모아둔 집합.
  2. \(\bigcap_{k=1}^{n}A_{k}\)는 n개의 집합에 모두 속해있는 원소들을 모아둔 집합.

따라서 위의 논리를 적용해서 lim sup과 lim inf를 이해해보면 다음과 같다.

lim sup

\[ \underset{n\rightarrow\infty}{limsup}A_{n}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k} \]

먼저 집합열 \(\{A_n\}\)의 lim sup에 속해있는 원소라는 의미는 다음의 \(\left\{ \bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\right\} _{n\geq1}\)에 모두 속해있다는 의미이다. 즉, 풀어서 써보면 다음과 같은 집합에 모두 포함되어 있어야 한다는 의미가 된다.

\[ \left\{ A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup...\right\} ,\left\{ A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}\cup...\right\} ,\left\{ A_{3}\cup A_{4}\cup A_{5}\cup...\right\} ,... \]

위의 집합들에 모두 속해 있다는 의미는 어떤 의미일까? 예를 들어 \(a\)가 위의 집합열 \(\{A_n\}\)의 limsup에 속해있는 원소라고 가정해보자. 그렇다면 원소 \(a\)는 집합열 \(\{A_n\}\)에 계속 반복해서 끝나지 않고 나온다는 의미가 된다.

여기서 a가 나오기를 끝난다는 의미는 a가 어떤 특정 집합을 끝으로 나타나지 않는다는 의미가 된다. 따라서 끝나지 않고 나온다는 의미는 우리가 생각할 수 있는 아무리 큰 숫자들을 생각해보아도, 원소 a는 그 숫자 이상의 순서에 있는 집합에서도 발견할 수 있다는 의미가 된다. lim sup의 원소 a는 집합 \(A_{1000}\)에 속해있을 수 있다. 또, 집합 \(A_{100000}\)에도 속해 있을 수 있다. 좀 더 생각해보면 \(10^7\) 번째 집합 \(A_{10^7}\)에 속해있을 수 있다. 좀 더 과장해서 \(A_{10^{1000000000000000}}\)에도 속해 있을 수 있다. 과연 a는 \(A_{10^{1000000000000000}}\)을 끝으로 더 이상 나오지 않을까? 아니다. 왜냐하면 위의 정의에 의하면 다음의 집합에도 a는 속해있어야하기 때문이다.

\[ \left\{ A_{10^{1000000000000000}+1}\cup A_{10^{1000000000000000}+2}\cup A_{10^{1000000000000000}+3}\cup...\right\} \]

즉, 원소 a을 포함하는 마지막 집합을 찾을래야 찾을 수가 없다. 이렇게 끊임없이 계속해서 반복 출현하는 현상을 영어로 infinitely often하게 출현한다고 말하며, 어떤 집합열의 lim sup은 이렇게 infinitely often 출현하는 원소들을 모아놓은 집합이 된다.

lim inf

\[ \underset{n\rightarrow\infty}{liminf}A_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k} \]

집합열 \(\{A_n\}\)의 lim inf에 속해있는 원소라는 의미는 적어도 \(\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}\) 중 하나에는 속해있다는 의미이다. 즉, 다음과 같은 집합들 중 하나에는 적어도 속해있을 것이다.

\[ \left\{ A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap...\right\} ,\left\{ A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}\cap...\right\} ,\left\{ A_{3}\cap A_{4}\cap A_{5}\cap...\right\} ,... \]

이 말은 무슨 말일까? 앞에서와 마찬가지로 a를 lim inf에 속한 원소라고 가정해보자. 예를 들어 또한 원소 a가 세 번째 집합인 \(\left\{ A_{3}\cap A_{4}\cap A_{5}\cap...\right\}\)에 속해있다고 하자. 그렇다면 a는 \(A_3\)을 기점으로 \(A_4\)에도, \(A_5\)에도, \(A_6\)에도 쭈욱 속해있다는 말이다. 또 다른 예로 위의 집합열 중 천번째의 집합에 속해 있을 수도 있을 것이다. 그 말은 원소 a가 \(A_1000\)을 기점으로 계속해서 나타난다는 말이다.

정리해보면, 어떤 원소가 lim inf에 속해있다는 말은 그 원소는 어느 특정 n을 기준으로 그 이후의 순서가 부여된 집합에는 모두 속해있어야 한다는 말이 된다.

lim sup과 lim inf의 차이

그렇다면 앞에서 살펴본 lim sup과 lim inf에 속하는 원소들의 차이는 무엇일까? 어떤 원소가 lim inf에 속하려면 특정 n을 기준으로 그 이후의 순서가 부여된 집합에는 모두 속해있어야 한다. 하지만 lim sup의 경우는 끝나지 않고 나오기만 하면 되기 때문에 꼭 연속해서 속해 있을 필요는 없다. 따라서 가입 조건(?)의 강약을 따지자면, lim inf의 멤버이 되는 조건이 lim sup의 멤버가 되는 조건보다 훨씬 까다롭다. 클럽으로 따지자면, 처음 몇번은 안나와도 되지만 일정 시점이 지나면 계속해서 나가야 되는 클럽과 가끔씩 나가기만 하면 되는 클럽을 비교하는 것이니까 말이다. 따라서 둘 사이의 관계는 다음과 같다.

\[ \underset{n\rightarrow\infty}{liminf}A_{n}\subset\underset{n\rightarrow\infty}{limsup}A_{n} \]

따라서 집합열의 극한이 존재한다는 말은 다음의 두 가지로 표현 할 수 있다.

\[ \begin{align*} A=\underset{n\rightarrow\infty}{liminf}A_{n} & \supset\underset{n\rightarrow\infty}{limsup}A_{n}\\ & or\\ A=\underset{n\rightarrow\infty}{liminf}A_{n} & =\underset{n\rightarrow\infty}{limsup}A_{n} \end{align*} \]

이 경우 우리는 집합 A는 집합열 \(\left\{ A_{n}\right\} _{n\geq1}\)의 극한이라고 하고,

\[ \begin{align*} \underset{n\rightarrow\infty}{lim}A_{n} & =A\\ & or\\ A_{n}\rightarrow & A \end{align*} \]

로 표기한다. 맨 앞에 언급한 예제에서 \(A_n\)의 집합이 수렴하게 된다는 것은 자존심이 쎈 사람들이 모두 결국 현실을 받아들이고 매번 무료 점심을 먹으러 나오게 되는 것을 의미하게 된다.

Reference

[1] lim sup and lim inf of sequence of sets. stackexchange page


SHARE TO

신고


티스토리 툴바